În cadrul proiectului
instituțional de cercetare aplicativă EDUSCIENCE în perioada 20-21 octombrie
2017 la Universitatea de Stat Tiraspol a fost organizată Ediția a II-a a Atelierului
Internațional Clasa digitală. Dacă prima ediție a atelierului din 2016 a fost
dedicată examinării celor mai recente realizări din domeniul instruirii în
mediul digital, ediția din acest an a explorat modalități de desfășurare a
evaluării folosind atât mijloace și resurse disponibile on-line, cât și
instrumente digitale. Scopul atelierului a fost de a valorifica rezultatele
cercetărilor din cadrul proiectului EDUSCIENCE prin diseminarea lor în
rândurile profesorilor școlari din R Moldova și de a face schimb de experiență
cu colegii francezi de la Școala Superioară de Profesorat și Educație din
Tuluza.
Atelierul a început cu un cuvânt de salut din partea dlui Gerard Broussaud – coordonatorul în Republica Moldova a proiectului FRANCOFONIE ȘI SOLIDARITATE, Andrei Braicov – decanul facultății
Fizică, Matematică și Tehnologii Informaționale la UST, Viorel Bocancea – șef Centrului
formare continuă a UST, Mihail Calalb – directorul proiectului EDUSCIENCE.
Astfel, în cadrul atelierului
au vorbit: Rodolphe Morele – despre cum mijloacele TIC pot contribui la
evaluare, Andrei Braicov și Tatiana Veveriță – utilizarea aplicației Testmoz pentru
evaluare, Angela Răcilă – evaluarea digitală la lecțiile de matematică în clase
francofone, Angela Reuleț - impactul evaluării digitale asupra succesului
academic la lecțiile de fizică, Aliona Russu – beneficiile evaluării digitale
în clasele primare, Tatiana Midoni – evaluarea digitală la lecțiile de limbă
română.
Menționăm stilul practic al prezentării dlui
Morele, care a arătat profesorilor noștri o paletă bogată de mijloace și
resurse disponibile gratis pe Internet – toate orientate spre a facilita cât
mai mult viața profesorului în materie de elaborare de teste, desfășurare de
testări și analiză a rezultatelor testării.
Facultatea Fizică, Matematică și Tehnologii Informaționale a Universității de Stat din Tiraspol a organizat Duminică, 30 aprilie 2017, evenimentul Ziua Ușilor Deschise.
În cadrul evenimentului au avut loc
1. Concursul Absolvenților de liceu : Timp de 2 ore viitorii absolvenți au rezolvat probleme nonstandarde și aplicative. Liceenii ce au obținut locurile de frunte au fost premiați cu manuale, ghiduri de rezolvare a problemelor și covorașe pentru mouse.
2. Seminarul metodologic pentru cadrele didactice “Abordarea STEM în predarea științelor exacte”.
10:00 – 10:10 - Cuvânt de salut, decanul FMTI, dr. conf. Andrei Braicov, academician Mitrofan Cioban
Miercuri, 04 mai 2017, în cadrul facultății Fizică, Matematică și Tehnologii Informațiomale (FMTI) a Universității de Stat din Tiraspol s-a desfășurat ședința ordinară a Atelierului de lucru Abordări metodice privind predarea cursului de Robotică. În cadrul atelierului lectorii superiori ai catedrei Informatică și Tehnologii Informaționale Natalia Lupașco și Tatiana Veveriță au arătat cum pot fi utilizați senzorii și roboții NeuLog în predarea disciplinelor Informatica, Fizica, Chimia, Biologia și Geografia.
La atelier au participat cadre didactice și inginerii-programatori ai facultății FMTI.
Cercetările privind metodologia predării cursului Robotica pentru studenții specialităților din domeniul Științe ale Educației și pentru elevii ciclului preuniversitar se realizează la UST în cadrul Laboratorului de Programare și Robotică CYBER.
Menționăm că în atelierile precedente au fost discutate aspecte metodologice de predare a Roboticii prin utilizarea robotilor LEGO® MINDSTORMS® EV3
Tallinn University of Technology (TTÜ) Summer School is interested in tightening the cooperation with our partner universities in Belarus, Georgia, Moldova and Ukraine.
Our aim is to offer to your high achieving students the best possibilities to enhance their professional knowledge, grow their international academic network and experience Estonian culture. Herewith we would like invite your universities students to participate in our fun and educational short-term courses from July 24 until August 6, 2017. TTÜ Summer School takes place in modern and tech-savvy capital of Estonia, Tallinn.
TTÜ is the flagship of Estonian engineering and technology. TTÜ is internationally recognized and offers more than 30 study programmes conducted fully in English. We maintain active relationships and cooperation with over 50 top technological universities like Stanford,Technical University of Munich, Delft University of Technology and KTH Royal Institute of Technology in Europe.
Organizing the Summer School we focus on participants´ excellent learning experiences. We are very proud that our participants are highly satisfied with their TTÜ summer School experiences:
"The Summer School on Secure e-Governance provides the students with a good overview of several relevant aspects of e-governance. The international setting and
knowledgeable lecturers enable many fruitful discussions that widen your horizon"
Oscar (Denmark) participant of the e-Governance 2016
"During the two weeks of the summer school in addition to lectures we also explored Estonia and Tallinn, its beautiful nature and medieval architecture impressed us very much! Digital society and long history are a perfect combination of old and new in Estonia"
Yuki (China) participant of the English Language and Nordic Culture 2016
Tallinn University of Technology Summer School offers to all university students in Belarus, Georgia, Moldova and Ukraine a possibility to participate in two summer programs with special discount price 1250 EUR per participant. Price includes tuition fee, study materials; certificate upon successful completion of the course, social events programme, accommodation in Academic Hostel (shared twin room, without breakfast. Breakfast is available at TTÜ campus canteen from 8.30 am on weekdays). Please add password “Friend discount” to Notice field during registration:
Additionally we offer up to 10 full scholarships per programme to partner universities´ students. The full scholarship covers travel costs up to 350 EUR, tuition fee, study materials, certificate upon successful completion of the course, social events programme, accommodation in Academic Hostel (shared twin room, without breakfast). The scholarships are provided by Estonian Ministry of Foreign Affairs via Estonian developing cooperation funds.
To use this offer students must register before 10th of May 2017. Applicantsare requested to write a short description of their motivation. Also we will conduct a Skype interview with all applicants to select the most suitable candidates. The stipendiaries will be announced by 24th of May 2017.
Exercițiu: Ecuația
\[
x^n + y^n = z^n , \quad x,y,z \in \mathbb{N} \qquad (\star)
\]
nu are soluții când $n\ge 3$, dar se știe că dacă $n=2$, atunci există o infinitate de soluții. Apare întrebarea: de ce există această diferență dintre $n=2$ și $n>2$?
Acest exercițiu este adaptat din blogul lui Terrence Tao.
Una din cele mai cunoscute teoreme din matematică este Ultima Teoremă a lui Fermat , datorită faptului că oricine poate înțelege afirmația ei, dar demonstrația ei, efectuată de Andrew Wiles în 1994, o pot înțelege foarte puține persoane. Această demonstrație a fost obținută după mai mult de 350 de ani de încercări.
În rezolvarea următoare se va da un răspuns parțial al acestei întrebări cu ajutorul seriilor numerice. Ea este accesibilă și studenților anului întâi a facultăților de matematică. Subliniem că acest răspuns nu este o demonstrație, deoarece se bazează pe aproximări și conjectura ABC.
Numerele $x$, $y$ și $z$ pot fi reduse la niște numere reciproc prime. Conform conjecturei $ABC$, ele pot fi rescrise ca numerele $a$, $b$ și $c=a+b$, respectiv, ce sunt puteri de ordinul $n$ ale unor numere naturale.
Vom calcula probabilitatea ca $a$, $b$ și $a+b$ să fie toate puteri ale unor numere naturale. Dacă analizăm doar numărul $a$, atunci acest număr are aproximativ probabilitatea $a^{1/n}/a$ ca să fie puterea unui număr natural. De exemplu $n=3$, $a=230$, atunci $P\, \approx \, \sqrt[3]{230}/{230} = 0,0266$, care este destul de apropiată de probabilitatea adevărată, deoarece $A=\{ 1,8$, $27$,$64$,$125$,$216 \}$ este mulțimea evenimentelor favorabile, adică $m=6$ și $n=230$, avem $P=0,261$.
Ignorând relațiile dintre $a$, $b$ și $a+b$ (cel puțin când aceste numere sunt reciproc prime se poate de făcut aceasta), probabilitatea ca numerele $a$, $b$ și $a+b$ să fie puteri de ordinul $n$ ale unor numere naturale este
\[
a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} .
\]
Pentru a obține probabilitatea pentru toate numerele naturale $a$ și $b$ vom suma aceste probabilități
\[
P = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^\infty {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } .
\]
Conform lemei Borel-Cantelli din teoria probabilității, dacă $P<\infty$, atunci probabilitatea ca să existe soluții ale ecuației $(\star)$ este foarte mică, însă dacă $P=\infty$, atunci probabilitatea este foarte mare.
Observăm că $P$ este simetrică în raport cu variabilele $a$ și $b$, adică substituția $a\to b$, $b\to a$ nu schimbă expresia $P$. De aceea putem scrie $P$ sub forma
\[
P = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } + \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2} \left( {2a} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } .
\]
A doua serie poate fi scrisă sub forma
\[
\sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2} \left( {2a} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } = 2^{\frac{1}
{n} - 1} \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2 + \frac{1}
{n} - 1} } = 2^{\frac{1}
{n} - 1} \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{3}
{n} - 3} } ,
\]
pentru $n\ge 2$ converge, fiind o serie armonică generalizată cu $\displaystyle \alpha =3- \frac{3}{n}>1$. De aceea, această serie o putem ignora. Să studiem în continuare seria
\[
P' = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } .
\]
Dacă $1\le b\le a-1$, atunci $a < a + b < 2 a$, de aceea avem
\[
\sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {2a} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } < J < \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( a \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } ,
\]
care poate fi scrisă sub forma
\[
2^{\frac{1}
{n} - 1} \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{2}
{n} - 2} b^{\frac{1}
{n} - 1} } } < J < \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{2}
{n} - 2} b^{\frac{1}
{n} - 1} } } .
\]
Astfel, dacă demonstrăm convergența seriei
\[
P'' = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{2}
{n} - 2} b^{\frac{1}
{n} - 1} } } = \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2} \sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {b^{\frac{1}
{n} - 1} } } ,
\]
atunci seria $P'$ de asemenea va fi convergentă. Putem aproxima seria interioară
\[
\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {b^{\frac{1}
{n} - 1} } \, \, \approx \, \, \int\limits_1^{a - 1} {x^{\frac{1}
{n} - 1} dx} = \left. {nx^{\frac{1}
{n}} } \right|^{a - 1} _1 = n\left( {a - 1} \right)^{\frac{1}
{n}} - n \, \, \approx \, \, a^{\frac{1}
{n}} .
\]
Seria $P''$ o putem aproxima
\[
P'' \, \approx \, \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{3}
{n} - 2} } ,
\]
care este convergentă când $n\ge 4$ și divergentă când $n=2$. Astfel, pentru $n\ge 4$ probabilitatea ca ecuația $(\star)$ să aibă soluții este extrem de mică, iar pentru $n=2$ - probabilitatea este extrem de mare.
Folosind rezolvarea de mai sus nu putem face careva afirmații despre cazul $n=3$, deoarece în acest caz obținem seria armonică, care se află la limita dintre seriile convergente și divergente și ea a fost obținută folosind mai multe aproximări.
Un video excelent al canalului YouTube Numberphile despre această teoremă:
