\[
x^n + y^n = z^n , \quad x,y,z \in \mathbb{N} \qquad (\star)
\]
nu are soluții când $n\ge 3$, dar se știe că dacă $n=2$, atunci există o infinitate de soluții. Apare întrebarea: de ce există această diferență dintre $n=2$ și $n>2$?
Acest exercițiu este adaptat din blogul lui Terrence Tao.
Una din cele mai cunoscute teoreme din matematică este Ultima Teoremă a lui Fermat , datorită faptului că oricine poate înțelege afirmația ei, dar demonstrația ei, efectuată de Andrew Wiles în 1994, o pot înțelege foarte puține persoane. Această demonstrație a fost obținută după mai mult de 350 de ani de încercări.
În rezolvarea următoare se va da un răspuns parțial al acestei întrebări cu ajutorul seriilor numerice. Ea este accesibilă și studenților anului întâi a facultăților de matematică. Subliniem că acest răspuns nu este o demonstrație, deoarece se bazează pe aproximări și conjectura ABC.
Numerele $x$, $y$ și $z$ pot fi reduse la niște numere reciproc prime. Conform conjecturei $ABC$, ele pot fi rescrise ca numerele $a$, $b$ și $c=a+b$, respectiv, ce sunt puteri de ordinul $n$ ale unor numere naturale.
Vom calcula probabilitatea ca $a$, $b$ și $a+b$ să fie toate puteri ale unor numere naturale. Dacă analizăm doar numărul $a$, atunci acest număr are aproximativ probabilitatea $a^{1/n}/a$ ca să fie puterea unui număr natural. De exemplu $n=3$, $a=230$, atunci $P\, \approx \, \sqrt[3]{230}/{230} = 0,0266$, care este destul de apropiată de probabilitatea adevărată, deoarece $A=\{ 1,8$, $27$,$64$,$125$,$216 \}$ este mulțimea evenimentelor favorabile, adică $m=6$ și $n=230$, avem $P=0,261$.
Ignorând relațiile dintre $a$, $b$ și $a+b$ (cel puțin când aceste numere sunt reciproc prime se poate de făcut aceasta), probabilitatea ca numerele $a$, $b$ și $a+b$ să fie puteri de ordinul $n$ ale unor numere naturale este
\[
a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} .
\]
Pentru a obține probabilitatea pentru toate numerele naturale $a$ și $b$ vom suma aceste probabilități
\[
P = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^\infty {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } .
\]
Conform lemei Borel-Cantelli din teoria probabilității, dacă $P<\infty$, atunci probabilitatea ca să existe soluții ale ecuației $(\star)$ este foarte mică, însă dacă $P=\infty$, atunci probabilitatea este foarte mare.
Observăm că $P$ este simetrică în raport cu variabilele $a$ și $b$, adică substituția $a\to b$, $b\to a$ nu schimbă expresia $P$. De aceea putem scrie $P$ sub forma
\[
P = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } + \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2} \left( {2a} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } .
\]
A doua serie poate fi scrisă sub forma
\[
\sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2} \left( {2a} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } = 2^{\frac{1}
{n} - 1} \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2 + \frac{1}
{n} - 1} } = 2^{\frac{1}
{n} - 1} \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{3}
{n} - 3} } ,
\]
pentru $n\ge 2$ converge, fiind o serie armonică generalizată cu $\displaystyle \alpha =3- \frac{3}{n}>1$. De aceea, această serie o putem ignora. Să studiem în continuare seria
\[
P' = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {a + b} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } .
\]
Dacă $1\le b\le a-1$, atunci $a < a + b < 2 a$, de aceea avem
\[
\sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( {2a} \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } < J < \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{1}
{n} - 1} b^{\frac{1}
{n} - 1} \left( a \right)^{\frac{1}
{n} - 1} } } ,
\]
care poate fi scrisă sub forma
\[
2^{\frac{1}
{n} - 1} \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{2}
{n} - 2} b^{\frac{1}
{n} - 1} } } < J < \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{2}
{n} - 2} b^{\frac{1}
{n} - 1} } } .
\]
Astfel, dacă demonstrăm convergența seriei
\[
P'' = \sum\limits_{a = 1}^\infty {\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {a^{\frac{2}
{n} - 2} b^{\frac{1}
{n} - 1} } } = \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{2}
{n} - 2} \sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {b^{\frac{1}
{n} - 1} } } ,
\]
atunci seria $P'$ de asemenea va fi convergentă. Putem aproxima seria interioară
\[
\sum\limits_{b = 1}^{a - 1} {b^{\frac{1}
{n} - 1} } \, \, \approx \, \, \int\limits_1^{a - 1} {x^{\frac{1}
{n} - 1} dx} = \left. {nx^{\frac{1}
{n}} } \right|^{a - 1} _1 = n\left( {a - 1} \right)^{\frac{1}
{n}} - n \, \, \approx \, \, a^{\frac{1}
{n}} .
\]
Seria $P''$ o putem aproxima
\[
P'' \, \approx \, \sum\limits_{a = 1}^\infty {a^{\frac{3}
{n} - 2} } ,
\]
care este convergentă când $n\ge 4$ și divergentă când $n=2$. Astfel, pentru $n\ge 4$ probabilitatea ca ecuația $(\star)$ să aibă soluții este extrem de mică, iar pentru $n=2$ - probabilitatea este extrem de mare.
Folosind rezolvarea de mai sus nu putem face careva afirmații despre cazul $n=3$, deoarece în acest caz obținem seria armonică, care se află la limita dintre seriile convergente și divergente și ea a fost obținută folosind mai multe aproximări.
Un video excelent al canalului YouTube Numberphile despre această teoremă:
